Balistica esterna - La traiettoria nel vuoto

Riprendiamo qui più ampiamente la trattazione della traiettoria di un proiettile nel vuoto, già in parte anticipata nella pagina "balistica esterna".
Quando si devono calcolare i dati della traiettoria di un corpo pesante lanciato o sparato con bassa velocità iniziale, la resistenza dell'aria può essere trascurata e possono applicarsi le formule per la traiettoria nel vuoto, molto più semplici dal punto di vista matematico.
Se il proiettile è leggero la resistenza dell'aria può diventare preponderante e le formule per il vuoto diventano inapplicabili (provate a lanciare a distanza una piuma ed un sasso e capirete perché il rapporto peso-volume è importante!).
Come abbiamo visto nella pagina introduttiva alla balistica esterna, nel vuoto il proiettile sarà soggetto a sole due forze indipendenti l'una dall'altra: l'impulso iniziale impressogli ed il peso (pari al prodotto della massa e dell'accelerazione di gravità.
L'impulso iniziale tende ad imprimere al corpo un moto uniforme e rettilineo.
La forza peso tende a far cadere il proiettile verso il suolo con moto uniformemente accelerato ( 9,81 m/sec2). La componente orizzontale della velocità è costante in direzione ed in valore. Supponendola terra piatta e ferma (supposizione più che idonea nei casi in cui possono applicarsi praticamente le formule per la traiettoria nel vuoto), la combinazione dei due moti dà come risultato un percorso parabolico da parte del proiettile.

Una valutazione matematica del problema ci consente di affermare che in questa parabola:
- la traiettoria è determinata solo dalla velocità iniziale, indipendentemente dalla forma e dal peso del proiettile (= ogni corpo lanciato);
- l'asse della parabola è perpendicolare e, passando attraverso il vertice della curva, la divide in due rami (ascendente e discendente) simmetrici;
- l'angolo di partenza è eguale all'angolo di caduta;
- la velocità iniziale è eguale alla velocità di caduta;
- la gittata massima si ha per un angolo di partenza di 45°.

I valori numerici che descrivono i vari elementi della traiettoria sono collegati fra di loro da semplici relazioni matematiche, così che, noti alcuni di essi, possono agevolmente ricavarsi gli altri.
Per comprendere meglio le formule relative, anticipiamo la esemplificazione pratica della traiettoria di un giavellotto, con tutti i dati numerici. Essi ben poco si discostano dalla realtà; si consideri che la traiettoria atmosferica tanto più si avvicina a quella nel vuoto quanto più pesante è il proiettile e più bassa la velocità iniziale; ad esempio nel caso dei mortai la differenza tra gittata reale e gittata nel vuoto è soltanto del 10% e la differenza era ancora minore per le artiglierie antiche. Per un proiettile di pistola la differenza è invece di circa 10 volte!
Sia quindi da calcolare la traiettoria di un giavellotto con velocità iniziale di 30 ms e con angolo di partenza di 40°.

Il significato delle lettere si ricava dalla seguente figura:

Dalle formule che poi riporteremo si otterranno i seguenti dati:
= 40°
= 40°
yv = 18,955 m
xv = 45, 174
X = 90,349 m
T = 3' 93
Vv = 22,98 ms

Dopo 1,5 secondi , i valori del punto P delle coordinate x e y saranno
x = 34,47 m
y = 17,89 m
= 11° 14' 44"
Vx = 29,42 ms
Vy = 4,56 ms

Ed ecco ora le formule in base alle quali, noti alcuni elementi della traiettoria, si può risalire ad altri elementi ignoti.

Valori di un punto qualunque della traiettoria.

x : Ascissa di un punto qualunque

e quindi nell'esempio dato, dopo 1,5 secondi,

x= 30 (1,5 cos 40°)=34,47 m

Oppure

in cui si avrà il segno - nel ramo ascendente e il segno + nel ramo discendente.

y: Ordinata di un punto qualunque della traiettoria

Con i dati dell'esempio si otterrà y = 17,889 m.
Oppure

Oppure

Oppure

Oppure

Valore di : angolo tra la tangente nel punto considerato e l'asse delle ascisse (< 90° nel ramo ascendente, > 90° nel ramo discendente).

Nell'esempio si avrebbe

da cui q= 11° 14'
Oppure

Oppure

t: tempo di volo fino ad un punto qualunque della traiettoria

ad esempio

Oppure

Vx e Vy : componenti della velocità V in un punto qualunque

ad esempio: Vx = 30 cos.40° = 22,98 ms.
Oppure

Valori al vertice della traiettoria

Oppure

Oppure

Oppure

Oppure

Oppure

Questa è la nota formula di Haupt valida, con buona approssimazione, anche nell'atmosfera.
Per il tempo di percorso

ma, più semplicemente

E per la velocità al vertice da

Oppure

Valori all'origine della traiettoria

Oppure

Quest'ultima formula consente di ricavare l'angolo di partenza per una determinata gittata X desiderata, conoscendo la gittata massima del proiettile.

Valori nel punto di caduta

Oppure

Oppure

Oppure

Oppure

Valori massimi della traiettoria

quando l'angolo di partenza è eguale a 45°

quando l'angolo di partenza è uguale a 90°

Perciò l'ordinata massima è uguale alla massima altezza h raggiungibile dal proiettile sparato verticalmente; quindi

Bersaglio fuori del piano di orizzonte

Le formule riportate sono valide per il caso in cui il bersaglio (o il punto di caduta del proiettile) si trovi sulla linea dell'orizzonte OC dell'arma. Se si suppone invece che il terreno sia in uniforme salita o discesa nella direzione del tiro, che il terreno formi cioè con l'orizzonte del pezzo un determinato angolo b, saranno naturalmente diversi sia la gittata che il tempo di volo.

Le formule più comuni applicabili saranno le seguenti

in cui

a seconda che si spari in salita (+) o in discesa (-).
La gittata effettiva O-Z diventa

OZ raggiunge il valore massimo quando la linea di proiezione è la bisettrice dell'angolo YOZ, cioè quando

Queste formule ci consentono di risolvere problemi della vita quotidiana. Ad esempio ci si chiede;: un uomo è in grado di lanciare, in pianura, una pietra a 68 metri di distanza; egli si trova ora sull'argine di un lago avente l'inclinazione di 26 gradi verso il basso ed a 60 metri al di sopra della superficie del lago; ; riuscirà a tirare un sasso nell'acqua?

Dal fatto che l'uomo può lanciare un sasso a 68 metri, deduciamo che è in grado id imprimere alla pietra una velocità iniziale pari a

La gittata massima sarà ottenuta con un angolo di lancio pari a

e sarà perciò eguale a

contro i 67 metri raggiungibili in piano.

Risolvendo il triangolo rettangolo OHZ si trova che

il che sta a significare che il punto di caduta Z è ancora lontano dalla superficie del lago.

Se la pietra fosse stata lanciata orizzontalmente (linea OH), e questo è il problema fondamentale nel calcolo del lancio delle bombe d'aereo), essa avrebbe raggiunto una distanza pari a