Il coefficiente balistico

Nella pagina dedicata alla balistica esterna abbiamo già visto che cosa si intenda per coefficiente balistico (Cb). Il suo calcolo teorico è alquanto complicato perché non è facile descrivere matematicamente la forma di un proiettile (lunghezza e raggio di curvatura della parte ogivale, rotondità, appiattimento, incavatura della punta, rastrematura della coda) al fine di determinare quel valore essenziale che è il fattore di forma -i- per il quale si rinvia alla apposita pagina.
Quasi tutti i programmi di balistica richiedono l'introduzione del Cb e forniscono una funzione per calcolarlo in base alla sola conoscenza della perdita di velocità che il proiettile subisce su di una certa tratta.
Il Cb usato dai programmi basati su tavole di ritardazione tipo Ingall o Lovry e che utilizzano il metodo semplificato proposto dall'italiano Siacci alla fine dell'ottocento è fornito dalla formula

in cui il peso è in grammi, il diametro in millimetri, -i- è il fattore di forma e 1,422 serve solo per adattare la formula alle misure decimali (se si usano le misure in grani e pollici, va tolto).
La formula è relativa all'atmosfera standard su cui è stata calcolata la curva di ritardazione per il proiettile tipo e che corrisponde ad una densità dell'aria che, a seconda dei casi, va da 1203 a 1225 gr/mc.
Per altre condizioni atmosferiche occorre moltiplicare il valore trovato per un fattore di correzione -d-, dato dal rapporto tra la densità reale e quella standard.
Il valore della densità reale è data dalla formula

in cui Hm è l'altitudine sul l.m. in metri e -t- è la temperatura in gradi centigradi; la temperatura avrà ovviamente valore positivo o negativo a seconda che sia sopra o sotto zero.
Il fattore di correzione -d- sarà perciò dato dal valore

A questo punto perciò l'unico valore ancora ignoto è il fattore di forma che però può essere agevolmente calcolato in base al coefficiente aereodinamico Cx del proiettile, a sua volta calcolabile dalla perdita di velocità su di una data tratta.
Il Cx è dato dalla seguente formula

in cui V1 è la velocità iniziale in ms, V2 è la velocità finale, S è la lunghezza del tratto considerato in metri, F è la sezione del proiettile in metri quadrati e P è il peso in Kg.
Se la formula viene moltiplicata per 1000 i valori di F e P possono essere espressi in millimetri quadrati e in grammi. Il coefficiente delta sta per la densità dell'aria effettiva; quindi 1,225 a 15° al l.m oppure quella calcolata con la formula di cui sopra (senza ovviamente la correzione).
A questo punto si può passare direttamente al calcolo del coefficiente di forma -i- che sarà dato dalla formula

La velocità in questo caso va espressa in Mach che si ottiene dividendo la velocità iniziale in m/s per la velocità del suono nell'aria, pari a circa 340 m/s. Delta indica la densità dell'aria.
Se si vuole una maggior precisione si può calcolare la velocità del suono in relazione alla temperatura dell'atmosfera effettiva (l'umidità influisce poco) in base alla formula

vel = 331,6 + 0,6t

in cui -t- è la temperatura del'atmosfera in C°.
Unico dato che rimane ancora da stabilire è il valore della funzione di resistenza del proiettile standard f(v). Le funzioni più usate sono quelle dello stesso Siacci e quella tedesca Eberhard-Sängewald. Siccome però il metodo di calcolo più usato è quello del Siacci, ho riscontrato che molti programmi e molti produttori di palle usano la sua formula.
Il Siacci ha fornito la formula per la sua curva di resistenza ed è la seguente

Nei calcoli balistici il risultato viene poi ulteriormente diviso per 100.
Per opportuno riscontro si tenga presente che i risultati da ottenere sono i seguenti:
V        f(v)
100     0,0120
200     0,0492
300     0,1545
400     0,5153
500     0,8708
600     1,2324
700     1,5962
800     1,9607
900     2,3255
1000    2,6904
1100     3,0554
1200     3,4203
A riprova della validità del metodo e per consentire al lettore di controllare la corretta esecuzione dei propri calcoli, facciamo un esempio con il proiettile 8x57 militare, peso 12,8 gr., velocità iniziale 755 ms, velocità a 100 m = 706 m/s, diametro 8 mm.
Cx sarà dato (con atmosfera standard) da

mentre -i- sarà dato da 0,28 moltiplicato per il quadrato della velocità in Mach, moltiplicato per 1,225 e diviso per il doppio del valore di f(v) per 755 ms pari a 2 x 1,796 .
Il risultato sarà i = 0,47
Il Cb sarà infine dato da 12,8 diviso per 0,47 e diviso per 8 al quadrato, il tutto moltiplicato per 1,422 ed eguale perciò a 0,605.
Siacci usava una atmosfera di 1,220, ma ciò non cambia in modo significativo il risultato finale.
Chi volesse usare in un programma balistico la curva di resistenza di Eberhard, dovrebbe servirsi dei valori di f(v) calcolati da Sängewald e che sono i seguenti:

   V     f(v)        V       f(v)       V     f(v)       V     f(v)
   1    0.00000     201    0,04843    401    0,61871    601    1,38960
   2    0,00001     202    0,04893    402    0,62250    602    1,39349
   3    0,00001     203    0,04944    403    0.62628    603    1,39737
   4    0,00002     204    0,04994    404    0,63006    604    1,40125
   5    0,00003     205    0,05045    405    0,63384    605    1,40514
   6    0,00004     206    0,05096    406    0,63762    606    1,40902
   7    0,00006     207    0,05147    407    0,64140    607    1,41291
   8    0,00008     208    0,05198    408    0,64518    608    1,41679
   9    0,00010     209    0,05249    409    0,64896    609    1,42068
   10    0,00012    210    0,05301    410    0,65274    610    1,42457
   11    0,00014    211    0,05353    411    0,65652    611    1,42846
   12    0,00017    212    0,05405    412    0,66031    612    1,43236
   13    0,00020    213    0,05458    413    0,66409    613    1,43625
   14    0,00023    214    0,05510    414    0,66788    614    1,44014
   15    0,00027    215    0,05563    415    0.67167    615    1,44404
   16    0,00031    216    0,05616    416    0,67546    616    1,44794
   17    0,00034    217    0,05670    417    0,67926    617    1,45184
   18    0,00039    218    0,05723    418    0,68305    618    1,45574
   19    0,00043    219    0,05777    419    0,68685    619    1,45964
   20    0,00048    220    0,05832    420    0,69065    620    1,46354
   21    0,00053    221    0,05886    421    0,69445    621    1,46745
   22    0,00058    222    0,05942    422    0,69825    622    1,47135
   23    0,00063    223    0,05997    423    0,70206    623    1,47526
   24    0,00060    224    0,06053    424    0,70587    624    1,47917
   25    0,00074    225    0,06110    425    0,70968    625    1,48309
   26    0,00081    226    0,06166    426    0,71350    626    1,48700
   27    0,00087    227    0,06224    427    0,71731    627    1,49092
   28    0,00093    228    0,06282    428    0,72113    628    1,49484
   29    0,00100    229    0,06340    429    0,72495    629    1,49876
   30    0,00107    230    0,06399    430    0,72878    630    1,50269
   31    0,00114    231    0,06459    431    0,73260    631    1,50661
   32    0,00122    232    0,06519    432    0,73643    632    1,51054
   33    0,00130    233    0,06580    433    0,74026    633    1,51448
   34    0,00138    234    0,06642    434    0,74409    634    1,51841
   35    0,00146    235    0,06705    435    0,74793    635    1,52235
   36    0,00154    236    0,06769    436    0,75176    636    1,52630
   37    0,00163    237    0,06833    437    0,75560    637    1,53024
   38    0,00172    238    0,06898    438    0,75914    638    1,53419
   39    0,00181    239    0,06965    439    0,76328    639    1,53815
   40    0,00190    240    0,07032    440    0,76712    640    1,54210
   41    0,00200    241    0,07100    441    0,77086    641    1,54607
   42    0,00210    242    0,07169    442    0,77481    642    1,55003
   43    0,00220    243    0,07240    443    0,77865    643    1,55401
   44    0,00230    244    0,07311    444    0,78250    644    1,55798
   45    0,00241    245    0,07383    445    0,78635    645    1,56196
   46    0,00252    246    0,07457    446    0,79019    646    1,56595
   47    0,00263    247    0,07531    447    0,79404    647    1,56994
   48    0,00274    248    0,07607    448    0,79490    648    1,57393
   49    0,00286    249    0,07684    449    0,80175    649    1,57793
   50    0,00298    250    0,07762    450    0,80560    650    1,58194
   51    0,00310    251    0,07841    451    0,80946    651    1,58595
   52    0,00322    252    0,07922    452    0,81331    652    1,58997
   53    0,00334    253    0,08003    453    0,81717    653    1,59399
   54    0,00347    254    0,08086    454    0,82102    654    1,59801
   55    0,00360    255    0,08170    455    0,82488    655    1,60205
   56    0,00373    256    0,08255    456    0,82874    656    1,60608
   57    0,00387    257    0,08342    457    0,83259    657    1,61013
   58    0,00400    258    0,08430    458    0,83645    658    1,61418
   59    0,00414    259    0,08519    459    0,84031    659    1,61823
   60    0,00428    260    0,08609    460    0,84417    660    1,62229
   61    0,00443    261    0,08700    461    0,84804    661    1,62636
   62    0,00457    262    0,08793    462    0,85190    662    1,63043
   63    0,00472    263    0,08887    463    0,85576    663    1,63451
   64    0,00487    264    0,08982    464    0,85962    664    1,63859
   65    0,00503    265    0,09078    465    0,86348    665    1,64268
   66    0,00518    266    0,09176    466    0,86734    666    1,64678
   67    0,00534    267    0,09275    467    0,87121    667    1,65088
   68    0,00550    268    0,09375    468    0,87507    668    1,65499
   69    0,00567    269    0,09476    469    0,87893    669    1,65911
   70    0,00583    270    0,09579    470    0,88280    670    1,66323
   71    0,00600    271    0,09683    471    0,88666    671    1,66735
   72    0,00617    272    0,09796    472    0,89053    672    1,67148
   73    0,00634    273    0,09895    473    0,88439    673    1,67562
   74    0,00652    274    0,10003    474    0,89826    674    1,67976
   75    0,00669    275    0,10112    475    0,90212    675    1,68391
   76    0,00687    276    0,10222    476    0,90599    676    1,68807
   77    0,00706    277    0,10334    477    0,90986    677    1,69223
   78    0,00724    278    0,10447    478    0,91372    678    1,69639
   79    0,00743    279    0,10562    479    0,91759    679    1,70056
   80    0,00762    280    0,10680    480    0,92145    680    1,70474
   81    0,00781    281    0,10799    481    0,92532    681    1,70898
   82    0,00800    282    0,10922    482    0,92919    682    1,71311
   83    0,00820    283    0,11049    483    0,93305    683    1,71730
   84    0,00840    284    0,11179    484    0,93692    684    1,72150
   85    0,00860    285    0,11313    485    0,94079    685    1,72570
   86    0,00880    286    0,11451    486    0,94466    686    1,72991
   87    0,00901    287    0,11593    487    0,94852    687    1,73412
   88    0,00922    288    0,11739    488    0,95239    688    1,73834
   89    0,00943    289    0,11890    489    0,95626    689    1,74257
   90    0,00964    290    0,12046    490    0,96013    690    1,74679
   91    0,00986    291    0,12206    491    0,96400    691    1,75103
   92    0,01007    292    0,12372    492    0,96786    692    1,75527
   93    0,01029    293    0,12543    493    0,97173    693    1,75951
   94    0,01051    294    0,12720    494    0,97560    694    1,76376
   95    0,01074    295    0,12902    495    0,97947    695    1,76801
   96    0,01097    296    0,13091    496    0,98334    696    1,77227
   97    0,01120    297    0,13286    497    0,98720    697    1,77653
   98    0,01143    298    0,13488    498    0,99107    698    1,78080
   99    0,01166    299    0,13697    499    0,99494    699    1,78507
   100    0,01190   300    0,13914    500    0,99881    700    1,78935
   101    0,01214   301    0,14139    501    1,00268    701    1,79363
   102    0,01238   302    0,14372    502    1,00658    702    1,79792
   103    0,01263   303    0,14614    503    1,01043    703    1,80221
   104    0,01287   304    0,14865    504    1,01431    704    1,80650
   105    0,01312   305    0,15126    505    1,01812    705    1,81080
   106    0,01337   306    0,15396    506    1,02199    706    1,81510
   107    0,01363   307    0,15677    507    1,02585    707    1,81941
   108    0,01388   308    0,15969    508    1,02972    708    1,82373
   109    0,01414   309    0,16272    509    1,03359    709    1,82804
   110    0,01440   310    0,16587    510    1,03746    710    1,83236
   111    0,01466   311    0,16914    511    1,04133    711    1,83669
   112    0,01493   312    0,17254    512    1,04520    712    1,84102
   113    0,01520   313    0,17609    513    1,04906    713    1,84535
   114    0,01547   314    0,17976    514    1,05293    714    1,84969
   115    0,01574   315    0,18360    515    1,05680    715    1,85403
   116    0,01601   316    0,18760    516    1,06067    716    1,85838
   117    0,01629   317    0,19176    517    1,06454    717    1,86273
   118    0,01657   318    0,19608    518    1,06841    718    1,86709
   119    0,01685   319    0,20055    519    1,07227    719    1,87145
   120    0,01713   320    0,20520    520    1,07614    720    1,87582
   121    0,01742   321    0,21000    521    1,08001    721    1,88019
   122    0,01771   322    0,21496    522    1,08388    722    1,88456
   123    0,01801   323    0,22008    523    1,08775    723    1,88894
   124    0,01830   324    0,22537    524    1,09161    724    1,89332
   125    0,01859   325    0,23081    525    1,09548    725    1,89771
   126    0,01889   326    0,23642    526    1,09935    726    1,90210
   127    0,01919   327    0,24219    527    1,10322    727    1,90650
   128    0,01950   328    0,24812    528    1,10709    728    1,91090
   129    0,01980   329    0,25420    529    1,11096    729    1,91530
   130    0,02011   330    0,26045    530    1,11482    730    1,91972
   131    0,02042   331    0,26686    531    1,11869    731    1,92413
   132    0,02074   332    0,27341    532    1,12256    732    1,92856
   133    0,02105   333    0,28008    533    1,12643    733    1,93298
   134    0,02137   334    0,28684    534    1,13030    734    1,93741
   135    0,02169   335    0,29367    535    1,13416    735    1,94185
   136    0,02201   336    0,30054    536    1,13803    736    1,94630
   137    0,02233   337    0,30744    537    1,13190    737    1,95074
   138    0,02266   338    0,31430    538    1,14577    738    1,95519
   139    0,02299   339    0,32109    539    1,14964    739    1,95966
   140    0,02333   340    0,32781    540    1,15351    740    1,96412
   141    0,02366   341    0,33448    541    1,15737    741    1,96560
   142    0,02400   342    0,34105    542    1,15124    742    1,97307
   143    0,02434   343    0,34763    543    1,16511    743    1,97755
   144    0,02468   344    0,35399    544    1,16898    744    1,98204
   145    0,02502   345    0,36035    545    1,17285    745    1,98654
   146    0,02539   346    0,36663    546    1,17671    746    1,99103
   147    0,02575   347    0,37283    547    1,18058    747    1,99554
   148    0,02611   348    0,37895    548    1,18445    748    2,00005
   149    0,02647   349    0,38503    549    1,18887    749    2,00457
   150    0,02684   350    0,39097    550    1,19219    750    2,00909
   151    0,02720   351    0,39686    551    1,19606
   152    0,02755   352    0,40268    552    1,19992
   153    0,02791   353    0,40842    553    1,20379
   154    0,02827   354    0,41409    554    1,20766
   155    0,02863   355    0,41968    555    1,21153
   156    0,02900   356    0,42519    556    1,21540
   157    0,02937   357    0,43063    557    1,21926
   158    0,02976   358    0,43601    558    1,22313
   159    0,03011   359    0,44131    559    1,22700
   160    0,03049   360    0,44653    560    1,23087
   161    0,03086   361    0,45169    561    1,23474
   162    0,03124   362    0,45678    562    1,23861
   163    0,03163   363    0,46180    563    1,24247
   164    0,03201   364    0,46674    564    1,24634
   165    0,03240   365    0,47163    565    1,25021
   166    0,03279   366    0,47644    566    1,25408
   167    0,03318   367    0,48120    567    1,25795
   168    0,03358   368    0,48588    568    1,26181
   169    0,03397   369    0,49051    569    1,26568
   170    0,03437   370    0,49507    570    1,26955
   171    0,03477   371    0,49957    571    1,27342
   172    0,03518   372    0,50402    572    1,27729
   173    0,03559   373    0,50841    573    1,28116
   174    0,03600   374    0,51274    574    1,28503
   175    0,03642   375    0,51272    575    1,28889
   176    0,03684   376    0,52124    576    1,29276
   177    0,03726   377    0,52542    577    1,29663
   178    0,03769   378    0,55955    578    1,30050
   179    0,03812   379    0,53364    579    1,30437
   180    0,03854   380    0,53769    580    1,30824
   181    0,03898   381    0,54171    581    1,31211
   182    0,03942   382    0,54569    582    1,31598
   183    0,03986   383    0,54966    583    1,31985
   184    0,04031   384    0,55358    584    1,32372
   185    0,04076   385    0,55749    585    1,32759
   186    0,04122   386    0,56141    586    1,33146
   187    0,04168   387    0,56530    587    1,33534
   188    0,04214   388    0,56917    588    1,33921
   189    0,04261   389    0,57303    589    1,34308
   190    0,04308   390    0,57690    590    1,34696
   191    0,04355   391    0,58073    591    1,35083
   192    0,04403   392    0,58445    592    1,35471
   193    0,04451   393    0,58835    593    1,35858
   194    0,04499   394    0,59215    594    1,36246
   195    0,04548   395    0,59594    595    1,36633
   196    0,04596   396    0,59975    596    1,37021
   197    0,04645   397    0,60335    597    1,37409
   198    0,04695   398    0,60734    598    1,38796
   199    0,04744   399    0,61113    599    1,38184
   200    0,04794   400    0,61492    600    1,38572
  

I valori superiori a 750 ms possono essere calcolati con la formula

f(v) = -1.015454 + .004008577   V

Penso di fare cosa utile ai lettori riportando la tavola di tiro per la cartuccia militare 8x57, calcolata con la massima esattezza e utile per controllare la bontà di un programma balistico o l'esattezza dei propri calcoli.

  Tavola di tiro della cartuccia militare 8x57 sS
  (schweres Spitzgeschoss) per   Mauser K98k.
  Velocità iniziale 755 ms - Peso palla gr. 12,8 - Polvere gr. 2,85
  Angolo di rilevamento +3'40" - Densità sezionale 26,2 gr/cmq
  
  Dist   Angolo      Angolo         Vertice       Tempo     Vel.  Energia
  anza   proiezione  caduta        x        y      volo    finale  kgm
  100     3'10"      3'20"        50       0,02    0,14     706    325
  200     6'10"      6'20"       101       0,1     0,28     660    284
  300     9'30"      9'50"       152       0,2     0,44     616    247
  400     13'0"      14'20"      205       0,4     0,61     574    215
  500     17'10"     19'40"      259       0,7     0,79     534    186
  600     21'50"     26'40"      315       1,1     0,98     495    160
  700     27'20"     35'40"      373       1,6     1,20     459    137
  800     33'40"     46'50"      433       2,3     1,43     426    118
  900     40'50"     1°0'30"     494       3,2     1,69     395    102
  1000    49'0"      1°17'10"    557       4,5     1,96     357     88
  1100    58’20"     1°37’ 0"    621       6,0     2,26     343     77
  1200    1°9'0"     1°59'50"    685       8,0     2,56     322     68
  1300    1°20'40"   2°25'20"    748       10,5    2,89     306     61
  1400    1°33'30"   2°52'50"    811       13,5    3,23     293     56
  1500    1°47'0"    3°21'50"    873       17,0    3,58     283     52
  1600    2°1'30"    3°52' 0"    934       20,0    3,94     271     49
  1700    2°16'50"   4°23'20"    994       25,0    4,31     266     46
  1800    2°33'0"    4°56'20"    1052      29      4,70     259     44
  1900    2°49'50"   5°30'30"    1110      35      5,10     252     41
  2000    3°7'30"    6° 6'30"    1168      41      5,51     245     39
  

APPENDICE

Per chi avesse voglia di sperimentare con altre funzioni di ritardazione, riporto alcune delle altre più comuni funzioni.
Funzione f(v) secondo Majevsky

Velocità         m                 n

0   - 240      1,400 x 10^(-2)    2

240 - 295      5,834 x 10^(-5)    3

295 - 375      6,709 x 10^(-10)   5

375 - 419      9,404 x 10^(-5)    3 

419 - 550      3,940 x 10^(-2)    2

550 - 800      2,616 x 10^(-1)    1,7

800 - 1000     7,130 x 10^(-1)    1,55


Il valore f(v) è dato da -m- moltiplicato per la velocità elevata al valore di -n-.
Nella tabella 10^(-2) significa 10 elevato a meno due.

Valori di f(v) secondo la legge di resistenza inglese del 1909
R Retardation fps.s.
V Velocity fps.
R=A V^m

V(feet/sec)        A            m

4000-2600       15366E-07      1.67

2600-2000       58495E-07      1.5

2000-1460       59814E-08      1.8

1460-1190       95408E-12      3

1190-1040       23385E-22      6.45

1040- 840       59939E-12      3

 840-   0       74422E-08      1.6 

Valori di f(v) secondo Ingall
R Retardation fps.s.
V Velocity fps.
R=A V^m
V(feet/sec)         A              m

3600-2600       4.0648825E-03     1.55
2600-1800       1.2479524E-03     1.7
1800-1370       1.3160125E-04     2
1370-1230       9.5697809E-08     3
1230- 970       6.3368148E-14     5
 970- 790       5.9353046E-08     3
 790-   0         4.6761777E-05     2